今回のおはなし
みなさんこんにちは。
VIPPOOL でエンジニアをやっています、星月です。
楕円曲線論はじめの一歩 (14) - VIPPOOL開発者ブログ
では、それまで実数体で定義された楕円曲線の有理点について
考察してきたのに、さらっと有限体上に再定義しました。
ここに理論の飛躍があるというご意見を頂いたので、
今回はそこについて詳しく見ていこうと思います。
準同型の厳密な定義
楕円曲線論はじめの一歩 (12) - VIPPOOL開発者ブログ
で触れた「準同型」という言葉。これが今回の鍵になります。
ここで触れた内容を数式で書いてみましょう。
楕円曲線上の点 P と Q があって、P と複素数 、Q と
が対応しています。
つまり、楕円曲線上の点からなる群 E から複素数体 C に変換する写像(関数)、
があって、
、
なわけです。
で、楕円曲線上の加法演算 A(P,Q) と、複素数体上の加算 があって、
楕円曲線上で加算した結果に対応する複素数 f(A(P,Q)) と、
先に複素数に変換して加算した が等しい、ということでした。
まとめて数式で書くと
ということです。
図にするとわかりやすいでしょうか。
このように、楕円曲線上の点から複素数への写像と、加算演算の順番を入れ替えることができる。
もっと一般化して、「写像と演算の順序を入れ替えることができる」
というのが、準同型という言葉の意味です。
射影平面と有理点の準同型性
まず、 などと置いて3次元にした射影平面の話を思い出してください。
有理点と射影平面上の像は準同型な関係になっています。
説明の簡略化のため、X 軸だけ見てみましょう。Y 軸も同様に考えられます。
射影平面上の X 座標 G から、楕円曲線上の有理点 E の X 座標への写像、
を考えてみましょう。
が写像となる関数です。有理点だけ考えているので、必ず分数で書き表せるところがポイントです。
実数上で定義された E の座標を計算するときは普通に
加算は 、乗算は
です。
一方、G の場合は加算 と定義します。
普通に通分して足してるだけです。乗算はもっと簡単 です。
射影平面と有限体の準同型性
こちらも同じく見ていきましょう。
射影平面上の X 座標 G から、有限体 F への写像、
を考えてみます。
が写像となる関数です。p が素数であれば、逆元 は必ず存在するのがポイントです。
G 上での加算乗算は前述の通りなので、対応する F での演算は、
加算が で、乗算が
です。
実数体上で定義した楕円曲線上の点の群と、有限体上で定義した点の群の準同型性
以上のお話から、「有理数体と射影平面が準同型」「射影平面と有限体が準同型」ということが
わかりましたね。ということは、「有理数体と有限体は準同型」ということが言えそうですね。
まとめ
今回は、楕円曲線論の最後でさらっと流した部分を詳しく見てみました。
またわかりづらい点などありましたら、ご指摘いただければ解説いたしますので、
お気軽にご意見ご感想など頂ければと思います。
今回はここまで。