楕円曲線論おまけの一歩 - VIPPOOL開発者ブログ

今回のおはなし

みなさんこんにちは。

VIPPOOL でエンジニアをやっています、星月です。
楕円曲線論はじめの一歩 (14) - VIPPOOL開発者ブログ
では、それまで実数体で定義された楕円曲線の有理点について
考察してきたのに、さらっと有限体上に再定義しました。

ここに理論の飛躍があるというご意見を頂いたので、
今回はそこについて詳しく見ていこうと思います。

準同型の厳密な定義

楕円曲線論はじめの一歩 (12) - VIPPOOL開発者ブログ
で触れた「準同型」という言葉。これが今回の鍵になります。

ここで触れた内容を数式で書いてみましょう。
楕円曲線上の点 P と Q があって、P と複素数 $w_1$ 、Q と $w_2$ が対応しています。
つまり、楕円曲線上の点からなる群 E から複素数体 C に変換する写像（関数）、
$E \stackrel{f}{\to} C$ があって、 $w_1=f(P)$ 、 $w_2=f(Q)$ なわけです。

で、楕円曲線上の加法演算 A(P,Q) と、複素数体上の加算 $A'(w_1,w_2)=w_1+w_2$ があって、
楕円曲線上で加算した結果に対応する複素数 f(A(P,Q)) と、
先に複素数に変換して加算した $A'(w_1,w_2)$ が等しい、ということでした。

まとめて数式で書くと
$f(A(P,Q))=A'(f(P),f(Q))$
ということです。

図にするとわかりやすいでしょうか。

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このように、楕円曲線上の点から複素数への写像と、加算演算の順番を入れ替えることができる。
もっと一般化して、「写像と演算の順序を入れ替えることができる」
というのが、準同型という言葉の意味です。

射影平面と有理点の準同型性

まず、 $x=\frac{X}{Z}$ などと置いて３次元にした射影平面の話を思い出してください。
有理点と射影平面上の像は準同型な関係になっています。

説明の簡略化のため、X 軸だけ見てみましょう。Y 軸も同様に考えられます。

射影平面上の X 座標 G から、楕円曲線上の有理点 E の X 座標への写像、
$G \stackrel{g}{\to} E$ を考えてみましょう。

$g(X,Z)=\frac{X}{Z}$
が写像となる関数です。有理点だけ考えているので、必ず分数で書き表せるところがポイントです。

実数上で定義された E の座標を計算するときは普通に
加算は $A(x_1,x_2)=x_1+x_2$ 、乗算は $M(x_1,x_2)=x_1 \times x_2$ です。
一方、G の場合は加算 $A'(X_1,Z_1,X_2,Z_2)=(X_1 \times Z_2 + X_2 \times Z_1, Z_1 \times Z_2)$ と定義します。
普通に通分して足してるだけです。乗算はもっと簡単 $M'(X_1,Z_1,X_2,Z_2)=(X_1 \times X_2, Z_1 \times Z_2)$ です。