楕円曲線論はじめの一歩 (11)

今回のおはなし

みなさんこんにちは。

VIPPOOL でエンジニアをやっています、星月です。

前回までで、楕円曲線上にある 1 つか 2 つの有理点から、
異なる有理点を見つける、という作業についてみてきました。

今回は、その作業についてもう少し詳しく考えてみましょう。

「新たな点を見つける」という演算

与えられた楕円曲線と、2 つの有理点から、異なる有理点を導き出す操作。

りんごが 1 個(点 P)と、別のりんごが 1 個(点 Q)から、りんごが 2 個ある状態(点 S)を導き出すのと
まったく同じ構図であることに、気づいたでしょうか?

そう、P と Q から S を求める。これもまた、足し算と同じ「演算」と呼べるのです。

点と点を足し算する演算、つまり「群」であるわけです。

群であることを確かめてみましょう。

演算が閉じている

線を引いて交点を求めるので、演算については閉じていることがわかります。
もちろん、無限遠点を含めれば、の話ですが。

結合法則

これを証明するのは少々大変なので省略しますが、
結合法則も実はちゃんと満たします。

単位元無限遠

無限遠点と楕円曲線上の点との足し算は、元の点のままになります。

逆元は x 軸に対して対称な点

前回お話した通り、( x, y ) と ( x, -y ) を足すと無限遠点になります。

つまり、点 P ( x, y ) と点 -P ( x, -y ) の足し算は単位元になるわけで、
( x, y ) と ( x, -y ) は逆元の関係にあることがわかります。

可換群である

2 つの点を通る直線を引く、という操作から始まるので、
どちらがどちらでも結果は変わらないことはお分かりと思います。

つまり、この群は可換群といえます。

まとめ

いかがでしたでしょうか。
楕円曲線上の有理点について調べると、
実は可換群であったことがわかりました。

今回はここまで。
ご質問、ご意見等ありましたらお気軽にリプライください。